24. 精度数学

第24章：精度数学

24.1. 数值的类型
24.2. DECIMAL数据类型更改
24.3. 表达式处理
24.4. 四舍五入
24.5. 精度数学示例

MySQL 5.1提供了对精度数学的支持，也就是说，数值处理功能，它能给出极其精确的结果，并能对无效值进行高度控制。精度数学基于下述两种特性：

· SQL模式，控制服务器接受或拒绝无效值的严格程度（请参见5.3.2节，“SQL服务器模式”）。

· 用于定点算法的MySQL库。

对于数值操作，这些特性具有数种隐含意义：

· 精确计算：对于准确值数值，计算不会引入浮点错误。相反，将使用准确的精度。例如，对于数值.0001，会将其当作准确值予以处理，而不是近似值，将其加10000次可获得准确的结果1，而不是近似于1的值。

· 定义良好的四舍五入特性：对于准确值数值，ROUND()的结果取决于其参量，而不是环境因素，如底层C库的工作方式等。

· 平台无关性：对准确数值的操作在不同平台上（如Unix和Windows）是相同的。

· 对无效值处理的控制：能够检测到溢出和除0情况，并会将其当作错误加以处理。例如，能够将对于某列来说过大的值当作错误对待，而不是对该值进行截短使之位于列数据类型的范围内。同样，也会将除0当作错误，而不是会获得NULL结果的操作。至于选择那种方式，它是由系统变量sql_mode的设置决定的（请参见5.3.2节，“SQL服务器模式”）。

这类特性的一个重要结果是，MySQL 5.1提供了与标准SQL的高度兼容性。

在下面的讨论中，介绍了精度数学的数种工作方式（包括与早期应用程序的可能的不兼容性）。在最后，给出了一些示例，演示了MySQL 5.1是如何精确处理数值操作的。

24.1. 数值的类型

对于准确值操作，精度数学的范围包括准确值的数据类型（DECIMAL和整数类型）以及准确值数值文字。对于近似值数据类型和数值文字，仍会将其当作浮点数值予以处理。

准确值数值文字具有整数部分和小数部分，或两者。它们可以是有符号的。例如：1、.2、3.4、-5、-6.78、+9.10。

近似值数值文字采用科学计数法表示，包含尾数和指数。任意部分或两者均可以是带符号的。例如，1.2E3、1.2E-3、-1.2E3、-1.2E-3。

对于看上去类似的数值，不需要均为准确值或近似值。例如，2.34是准确值（定点）数值，而2.34E0是近似值（浮点）数值。

DECIMAL数据类型是定点类型，其计算是准确的。在MySQL中，DECIMAL类型有多个同义词：NUMERIC、DEC、FIXED。整数类型也是准确值类型。

FLOAT和DOUBLE数据类型是浮点类型，其计算是近似的。在MySQL中，与FLOAT或DOUBLE同义的类型是DOUBLE PRECISION和REAL。

24.2. DECIMAL数据类型更改

本节讨论了MySQL 5.1中DECIMAL数据类型（以及其同义类型）的特性，尤其是下述方面：

· 数字的最大数。

· 存储格式。

· 存储要求。

· 对DECIMAL列上界的非标准MySQL扩展。

在本节中，对于为较早MySQL版本编写的应用程序，在相应的地方指出了可能的不兼容性。

DECIMAL列的声明语法是DECIMAL(M,D)。在MySQL 5.1中，参量的取值范围如下：

· M是数字的最大数（精度）。其范围为1～65（在较旧的MySQL版本中，允许的范围是1～254）。

· D是小数点右侧数字的数目（标度）。其范围是0～30，但不得超过M。

对于M，最大值65意味着，对DECIMAL值的计算能精确到65位数字。这种65位数字的精度限制也适用于准确值数值文字，因此，这类文字值的最大范围不同于以前的范围（在较早的MySQL版本中，十进制值能达到254位。不过，采用的是浮点计算，因而是近似计算而不是准确计算）。

在MySQL 5.1中，采用二进制格式保存DECIMAL列的值，将9个十进制数字打包在4字节中。对于每个值的整数部分和小数部分，其存储要求是分别确定的。每9个数字需要4字节，任何剩余的数字将占用4字节的一部分。例如，DECIMAL(18,9)列在小数点的每一侧均有9位数字，因此，整数部分和小数部分均需要4字节。DECIMAL(20,10)列在小数点的每一侧均有10位数字。对于每一部分，9位数字需要4字节，剩余的1位数字需要1字节。

在下表中，给出了关于剩余数字的存储要求：

剩余的数字	字节数
0	0
1	1
2	1
3	2
4	2
5	3
6	3
7	4
8	4
9	4

与某些较早的MySQL版本不同，在MySQL 5.1中，DECIMAL列不保存前导“+”字符或前导“0”数字。如果将+0003.1插入DECIMAL(5,1)列，将保存为3.1。为了适应该变化，必须更改依赖于早期行为的应用程序。

在MySQL 5.1中，DECIMAL列不允许保存大于列定义中隐含范围的值。例如，DECIMAL(3,0)列支持的范围为-999～999。对于DECIMAL(M,D)列，小数点左侧最多允许M –D位数字（它与依赖于早期MySQL版本的应用程序不兼容，允许保存额外数字代替“+”号）。

SQL标准要求，NUMERIC(M,D)的精度必须准确为M位数字。对于DECIMAL(M,D)，标准要求的精度至少为M位数字，但允许更多。在MySQL中，DECIMAL(M,D)和NUMERIC(M,D)是相同的，两者的精度均准确为M位数字。

对于依赖DECIMAL数据类型早期处理方式的应用程序，关于移植这类应用程序的更多信息，请参见MySQL 5.0参考手册。

24.3. 表达式处理

对于精度数学，只要可能，就会使用给定的准确值数值。例如，在比较中所用的数值与给定的值准确相同，无任何变化。在严格的SQL模式下，对于插入具有准确数据类型（DECIMAL或整数）的列的INSERT操作，如果值在列的允许范围内，将插入具有准确值的数值。检索时，所获得的值与插入的值应是相同（如果未采用严格模式，允许INSERT执行截短操作）。

对数值表达式的处理取决于表达式包含的值的类型：

· 如果存在任何近似值，表达式也是近似的，并将使用浮点算法进行评估。

· 如果不存在近似值，表达式仅包含准确值。如果任一准确值包含小数部分（小数点后面的值），将使用DECIMAL准确算法来计算表达式，其精度为65位数字。术语“准确”受二进制表述方面的限制。例如，1.0/3.0在十进制表述中可近似为.333...，但并不是准确数值，因此(1.0/3.0)*3.0不会被计算为准确的1.0。

· 另外，表达式仅包含整数值。表达式是准确的，并将使用整数算法进行计算，其精度与BIGINT的相同（64比特）。

如果数值表达式包含任何字符串，会将其转换为双精度浮点值，表达式是近似的。

数值列中的插入操作受SQL模式的影响，它是由sql_mode系统变量控制的（请参见1.8.2节，“选择SQL模式”）。下面介绍了严格模式（由STRICT_ALL_TABLES或STRICT_TRANS_TABLES模式值选择）和RROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO。要想打开所有限制，可简单地使用TRADITIONAL模式，它包含严格模式和ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO：

mysql> SET SQL_MODE='TRADITIONAL';

如果将数值插入具有准确类型的列（DECIMAL或整数），如果值在列允许的范围内，将以准确值形式插入数值。

如果数值在其小数部分有过多位，将执行四舍五入操作并给出告警。关于四舍五入的具体介绍，请参见四舍五入一节。

如果数值在其整数部分有过多位，数值过大，并将按下述方式处理：

· 如果未启用严格模式，该数值将被截短为最近的合法值，并发出警告。

· 如果启用了严格模式，将给出溢出错误。

不检测下溢，因而下溢处理是不确定的。

默认情况下，除0操作会导致NULL结果，不产生告警。启用了ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO SQL模式后，MySQL会以不同方式处理除0问题：

· 如果未启用严格模式，发出警告。

· 如果启用了严格模式，将禁止包含除0操作的插入和更新，并给出错误。

换句话讲，对于包含执行除0操作的表达式的插入和更新，将被当作错误对待，但除了严格模式外还需要ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO。

假定下述语句：

INSERT INTO t SET i = 1/0;

对于严格模式和ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO模式的组合，情况如下：

sql_mode值	结果
'' (Default)	无告警，无错误：i被设置为NULL。
strict	无告警，无错误：i被设置为NULL。
ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO	告警，无错误：i被设置为NULL。
strict,ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO	错误条件，不插入任何行。

将字符串插入数值列时，如果字符串具有非数值内容，将按下述方式将字符串转换为数值：

· 对于未以数值开始的字符串，在严格模式下，不能将其作为数值使用，并会产生错误，在其他情况下，给出警告。包括空字符串。

· 对于以数值开始的字符串，可以进行转换，但尾随的非数值部分将被截去。在严格模式下会导致错误，在其他情况下，给出警告。

24.4. 四舍五入

本节讨论了精度数学的四舍五入特性，ROUND()函数，以及插入DECIMAL列时的四舍五入特性。

ROUND()函数的行为取决于其参量是准确的还是近似的：

· 对于准确值数值，ROUND()采用“半值向上舍入”规则：如果小数部分的值为.5或更大，如果是正数，向上取下一个整数，如果是负数，向下取下一个整数（换句话讲，以0为界限执行舍入）。如果小数部分的值小于.5，如果是正数，向下取下一个整数，如果是负数，向上取下一个整数。

· 对于近似值数值，结果取决于C库函数。在很多系统上，它意味着ROUND()将使用“舍入至最近的偶数”规则：具有任何小数部分的值均将被舍入为最近的偶数。

在下面的示例中，介绍了舍入操作对准确值和近似值的不同处理方式：

mysql> SELECT ROUND(2.5), ROUND(25E-1);

+------------+--------------+

| ROUND(2.5) | ROUND(25E-1) |

+------------+--------------+

| 3          |            2 |

+------------+--------------+

对于向DECIMAL列的插入操作，目标是准确的数据类型，无论要插入的值是准确的还是近似的，将采用“半值向上舍入”规则：

mysql> CREATE TABLE t (d DECIMAL(10,0));
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> INSERT INTO t VALUES(2.5),(2.5E0);
Query OK, 2 rows affected, 2 warnings (0.00 sec)
Records: 2  Duplicates: 0  Warnings: 2

mysql> SELECT d FROM t;
+------+
| d    |
+------+
| 3    |
| 3    |
+------+

24.5. 精度数学示例

本节给出了一些示例，介绍了MySQL 5.1中的精度数学查询结果。

示例1。可能时，将使用给定的准确值：

mysql> SELECT .1 + .2 = .3;

+--------------+

| .1 + .2 = .3 |

+--------------+

|            1 |

+--------------+

但是，对于浮点值，结果是不准确的：

mysql> SELECT .1E0 + .2E0 = .3E0;

+--------------------+

| .1E0 + .2E0 = .3E0 |

+--------------------+

|                  0 |

+--------------------+

查看准确值和近似值处理差异的另一个方法是，增加1个小的数值，并多次累加。请考虑下述存储程序，它将.0001加到变量上1000次。

CREATE PROCEDURE p ()

BEGIN

  DECLARE i INT DEFAULT 0;

  DECLARE d DECIMAL(10,4) DEFAULT 0;

  DECLARE f FLOAT DEFAULT 0;

  WHILE i < 10000 DO

    SET d = d + .0001;

    SET f = f + .0001E0;

    SET i = i + 1;

  END WHILE;

  SELECT d, f;

END;

从逻辑上讲，d和f的合计应为1，但仅对decimal计算来说是这样。浮点计算会引入小的误差：

+--------+------------------+

| d      | f                |

+--------+------------------+

| 1.0000 | 0.99999999999991 |

+--------+------------------+

示例2。乘法是按照标准SQL所要求的标度执行。也就是说，对于具有标度S1和S2的两个数值X1和X2，结果的标度为S1 + S2：

mysql> SELECT .01 * .01;

+-----------+

| .01 * .01 |

+-----------+

| 0.0001    |

+-----------+

示例3：四舍五入定义良好：

在MySQL 5.1中，四舍五入操作（例如，使用ROUND()函数）独立于底层C库函数的实施，这意味着，在不同平台上结果是一致的。

在MySQL 5.1中，对于DECIMAL列和准确值数值，采用了“半值向上舍入”规则。对于小数部分等于或大于0.5的值，以0为分界舍入至最近的整数，如下所示：

mysql> SELECT ROUND(2.5), ROUND(-2.5);

+------------+-------------+

| ROUND(2.5) | ROUND(-2.5) |

+------------+-------------+

| 3          | -3          |

+------------+-------------+

但是，对于浮点值的舍入采用C库，在很多系统上，使用“舍入至最近的偶数”规则。在这类系统上，具有任何小数部分的值均将被舍入为最近的偶数：

mysql> SELECT ROUND(2.5E0), ROUND(-2.5E0);

+--------------+---------------+

| ROUND(2.5E0) | ROUND(-2.5E0) |

+--------------+---------------+

|            2 |            -2 |

+--------------+---------------+

示例4。在严格模式下，插入过大的值会导致溢出和错误，而不是截短至合法值。

当MySQL未运行在严格模式下时，将截短至合法值：

mysql> SET SQL_MODE='';

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t (i TINYINT);

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> INSERT INTO t SET i = 128;

Query OK, 1 row affected, 1 warning (0.01 sec)

mysql> SELECT i FROM t;

+------+

| i    |

+------+

|  127 |

+------+

1 row in set (0.00 sec)

但是，如果严格模式起作用，将出现溢出状况：

mysql> SET SQL_MODE='TRADITIONAL';

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t (i TINYINT);

Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)

mysql> SET sql_mode='STRICT_ALL_TABLES';

Query OK, 0 rows affected (0.10 sec)

mysql> INSERT INTO t SET i = 128;

ERROR 1264 (22003): Out of range value adjusted for column 'i' at row 1

mysql> SELECT i FROM t;

Empty set (0.00 sec)

示例5。在严格模式下并具有ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO设置时，除0会导致错误，而不是产生NULL结果。

在非严格模式下，除0将得出NULL结果：

mysql> SET SQL_MODE='';

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t (i TINYINT);

Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)

mysql> INSERT INTO t SET i = 1 / 0;

Query OK, 1 row affected (0.06 sec)

mysql> SELECT i FROM t;

+------+

| i    |

+------+

| NULL |

+------+

1 row in set (0.01 sec)

但是，如果恰当的SQL模式处于有效状态，除0将导致错误：

mysql> SET SQL_MODE='TRADITIONAL';

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t (i TINYINT);

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> SET sql_mode='STRICT_ALL_TABLES,ERROR_FOR_DIVISION_BY_ZERO';

Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> INSERT INTO t SET i = 1 / 0;

ERROR 1365 (22012): Division by 0

mysql> SELECT i FROM t;

Empty set (0.01 sec)

示例6。在MySQL 4中（引入精度数学之前），准确值和近似值文字均会被转换为双精度浮点值：

mysql> SELECT VERSION();

+-----------------+

| VERSION()       |

+-----------------+

| 4.0.25-standard |

+-----------------+

1 row in set (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t SELECT 2.5 AS a, 25E-1 AS b;

mysql> DESCRIBE t;

+-------+-------------+------+-----+---------+-------+

| Field | Type        | Null | Key | Default | Extra |

+-------+-------------+------+-----+---------+-------+

| a     | double(3,1) |      |     | 0.0     |       |

| b     | double      |      |     | 0       |       |

+-------+-------------+------+-----+---------+-------+

在MySQL 5.1中，近似值文字仍会被转换为浮点值，但准确值文字将被当作DECIMAL处理：

mysql> SELECT VERSION();

+-----------------+

| VERSION()       |

+-----------------+

| 5.1.2-alpha-log |

+-----------------+

1 row in set (0.00 sec)

mysql> CREATE TABLE t SELECT 2.5 AS a, 25E-1 AS b;

mysql> DESCRIBE t;

+-------+--------------+------+-----+---------+-------+

| Field | Type         | Null | Key | Default | Extra |

+-------+--------------+------+-----+---------+-------+

| a     | decimal(2,1) | NO   |     | 0.0     |       |

| b     | double       | NO   |     | 0       |       |

+-------+--------------+------+-----+---------+-------+

示例7。如果聚合函数的参量是准确的数值类型，其结果也是准确的数值类型，标度至少为参量的标度。

考虑下述语句：

mysql> CREATE TABLE t (i INT, d DECIMAL, f FLOAT);

mysql> INSERT INTO t VALUES(1,1,1);

mysql> CREATE TABLE y SELECT AVG(i), AVG(d), AVG(f) FROM t;

在MySQL 4.0或4.1（在MySQL中引入精度数学之前）中的结果：

mysql> DESCRIBE y;

+--------+--------------+------+-----+---------+-------+

| Field  | Type         | Null | Key | Default | Extra |

+--------+--------------+------+-----+---------+-------+

| AVG(i) | double(17,4) | YES  |     | NULL    |       |

| AVG(d) | double(17,4) | YES  |     | NULL    |       |

| AVG(f) | double       | YES  |     | NULL    |       |

+--------+--------------+------+-----+---------+-------+

无论参量类型是什么，结果为double。

在MySQL 5.1中的结果：

mysql> DESCRIBE y;

+--------+---------------+------+-----+---------+-------+

| Field  | Type          | Null | Key | Default | Extra |

+--------+---------------+------+-----+---------+-------+

| AVG(i) | decimal(14,4) | YES  |     | NULL    |       |

| AVG(d) | decimal(14,4) | YES  |     | NULL    |       |

| AVG(f) | double        | YES  |     | NULL    |       |

+--------+---------------+------+-----+---------+-------+

仅对浮点参量，其结果为double。对于准确类型参量，结果也为准确类型。

这是MySQL参考手册的翻译版本，关于MySQL参考手册，请访问dev.mysql.com。原始参考手册为英文版，与英文版参考手册相比，本翻译版可能不是最新的。

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